BAB I
SISTEM BILANGAN
1.1 Struktur Bilangan
Dalam kehidupan sehari-hari, sering kita gunakan
ungkapan-ungkapan semisal : tiga buah jeruk, sembilan buah bola atau lima
lembar uang ribuan. Kata : tiga, delapan dan lima membantu kita untuk
menyatakan keadaan tertentu, tetapi kita tidak tahu apa yang dimaksud dengan
ungkapan itu. Dalam matematika,
ungkapan-ungkapan di atas kita sebut dengan bilangan.
Secara garis besar sistem bilangan digambarkan dalam struktur
bilangan. Hirarki yang paling tinggi adalah bilangan kompleks. Bilangan
kompleks terdiri dari bilangan nyata (riil) dan bilangan khayal (imajiner). Bilangan
imajiner ini ada karena secara perhitungan ilmiah diperlukan, tetapi hasil hitungannya tidak ada. Bilangan
imajiner ini adalah yang biasa dinotasikan
dengan i.
Bilangan selanjutnya adalah bilangan riil terdiri
dari bilangan rasional dan irrasional. Bilangan rasional terdiri dari bilangan
bulat dan pecahan. Bilangan bulat
terdiri dari bilangan bulat positif dan nol atau disebut juga bilangan cacah serta bilangan bulat negative.
Secara garis besar struktur bilangan disajikan
pada Gambar 1.
Gambar 1 . Struktur
Bilangan
1.1.1 Bilangan Nyata (Riil)
Bilangan nyata adalah bilangan yang mengandung
salah satu sifat secara tegas yaitu positif atau negatif dan tidak kedua-duanya.
Contoh : 2; -2; 1; -1,1 ,……
1.1.2 Bilangan Asli
Bilangan asli adalah bilangan bulat positif dimulai dari 1.
Contoh : 1,2,3,…, 100, 5000, 12345, ….
1.1.3 Bilangan Cacah
Bilangan cacah adalah semua bilangan bulat positif termasuk di dalamnya
bilangan nol.
Contoh: 0,1,2,3,…..,100, 2340, 10345, ….
1.1.4 Bilangan Bulat Negatif
Bilangan bulat negative adalah bilangan yang bernilai/bertanda negative
Contoh : -1,-2,-3,…, -10,-500, -16789,…
1.1.5 Bilangan Bulat Positif
Bilangan bulat adalah terdiri dari bilangan bulat positif , bilangan
bilat negatif dan nol .
Contoh : ….., -546, …, -3,-2,-1,0,1,2,3,…, 546,…
1.1.6 Bilangan Pecahan
Bilangan pecahan adalah bilangan bulat yang dinyatakan dalam bentuk a/b
dengan a,b Î {
bilangan bulat} dan b ¹ 0
Contoh : 5/6, 3/4, 15/47 dan lain-lain.
Bilangan yang dapat disederhanakan seperti 4/2, 9/3, 12/4 bukan
termasuk bilangan pecahan , tetapi termasuk bilangan bulat.
1.1.7 Bilangan Rasional
Bilangan rasional adalah bilangan riil yang dapat
dinyatakan sebagai a/b dimana a, b Î { bilangan bulat } dan b ¹ 0, atau berupa pecahan dengan desimal terbatas ,
atau desimal berulang.
Contoh :
3/8 = 0,357
2/3 = 0,666667 (decimal terbatas)
2/11 = 0,18181818 (decimal berulang)
1.1.8 Bilangan Irrasional
Bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai a/b
dimana a, b Î {
bilangan bulat } dan b ¹ 0, atau berupa pecahan dengan decimal tidak
terbatas dan tidak berulang.
Contoh : Ö3, Ö5, log 6 dan lain-lain
Atau
Desimal tak berhingga tak berulang
Contoh :
0,123456 è bilangan irrasional karena tidak dapat
dinyatakan sebagai pecahan
1.1.9 Bilangan Riil
Bilangan riil adalah gabungan himpunan bilangan rasional dan bilangan irrasional.
Notasi : R è R = { x / -∞< x < +∞)
Contoh : -3, 0, 1/3, Ö3, Ö5, log 6 dan lain-lain
1.1.10 Bilangan Khayal /Imajiner
Bilangan khayal /imajiner merupakan suatu bilangan
akar negative yang ditemukan saat menyelesaikan suatu persoalan ilmu
pengetahuan. Dalam banyak penyelesaian masalah sains dan teknologi, manusia
menemukan solusi dalam bentuk akar negative yang secara logis menjadi tidak
terdefinisi. Oleh karena itu dibuatlah suatu bilangan baru yang disebut dengan
bilangan khayal/imajiner yaitu bilangan dalam bentuk akar negative.
Contoh : Ö-3, Ö-(5/7) dan lain-lain
|
Contoh :
Ö-9 = Ö9 . Ö-1 atau ditulis 3i atau 3 j
Bilangan imajiner berpangkat genap akan menjadi
bilangan riil
Contoh : 4i3 . 3i = 12
Bilangan imajiner berpangkat ganjil akan tetap menjadi
bilangan imajiner baik positif maupun
negative..
Contoh : 4i3 . 3 i2 = 12i5
= 12 i
Perhatian
:
i1
= i i5 = i
i2
= -1 i6 = -1
i3
= -i i7 = -i
i4
= 1 i8 = 1
contoh :
carilah nilai : i
59 = i 56 + 3 = (i4)14 . i3=
(1) 14 . –I = -i
1.1.11
Bilangan Kompleks
Bilangan kompleks merupakan bilangan yang
berbentuk a + bi, atau a+bj dimana a dan b bilangan riil sedangkan i atau j
adalah bilangan imajiner. Bilangan kompleks biasa dinyatakan dengan notasi c, z
atau s. Misalkan dalam pembahasan kita menggunakan z, maka z = 5 + 3 i adalah
bilangan kompleks.
a.
Operasi Aljabar Bilangan Kompleks
Jika a, b, c dan d
adalah bilangan real, maka
1. (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
2. (a + bi) -
(c + di) = (a - c) + (b - d)i
3. (a + bi) (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i
4.
Latihan
1. Nyatakan masing-masing bilangan kompleks berikut
ke dalam
bentuk a + bi , dimana a dan b adalah bilangan riil.
a.
3 +
b.
c.
d.
e.
(4 + 2i)(3 – 3i)
f.
i21
BAB II
PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN
2.1 Persamaan
Sebuah persamaaan mengandung sebuah
variabel yang bisa benar ataupun salah
jika sebuah angka disubstitusikan kedalam variabel tersebut. Sebuah pernyataan
benar dihasilkan dari sebuah substitusi
yang membuat persamaan menjadi berkesesuaian. Misal, substitusi x=3
sesuai untuk persamaam x2=9, tetapi x=4 tidak.
Sebuah persamaan yang
berkesesuaian untuk setiap substitusi antara kedua sisi dinamanakan persamaan identik . misal , (x+1)2
= x2+2x+ 1 adalah sebuah persaman identik. Sebuah persamaan
yang tidak identik dinamakan persamaan
kondisional. Misal, 2x=6 adalah persamaan kondisional, yaitu persamaan
yang memiliki sekurang-kurangnya satu subtitusi menghasilkan pernyataan yang
salah, (misal x=4).
Jika sebuah substitusi
x=a berkesesuaian pada persamaan, kita katakan bahwa angka a adalah solusi atau akar dari persamaan tersebut. Misal 3, adalah
solusi/akar dari persamaan 2x=6, tetapi 4 adalah bukan. Dua persamaan
dikatakan equivalent jika kedua
persaman tersebut mempunyai solusi /akar yang sama, misal 2x-6=0 adalah equivalent dengan 2x=6, karena keduanya
mempunyai solusi yang sama yaitu x=3.
Kita dapat mengubah sebuah persaman equivalen
satu sama lain mengikuti operasi sebagai berikut :
1.
Tambahkan atau kurangi dengan kuantitas
yang sama kedua sisi.
2.
Kalikan atau bagi kedua sisi persaman
dengan kuantitas yang sama kecuali dengan nol.
3.
Sederhanakan salah satu atau kedua
sisi persamaan.
4.
Rubah kedua sisi persaman.
Contoh, selesaikan persaman berikut :
2x-6=0
Kita mulai dengan menambah 6 kedua sisi untuk
mendapatkan persamaan yang equivalen yaitu :
2x=6
Kemudian kita bagi kedua sisi dengan 2
untuk menghasilkan persamaan equivalen berikutnya yaitu :
x=3
Persamaan terakhir menunjukan bahwa x=3
adalah akar/solusi dari persaman tersebut.
2.1.1 Jenis-Jenis
Persamaan
A. Persaman Derajat Pertama atau Persaman Linear
Sebuah persamaan derajat pertama atau persamaan linear dalam x
ditulis standar dalam bentuk :
ax +
b = 0 , dengan a ≠ 0.
Persamaan ini dapat
diselesaikan mengikuti langkah-langkah berikut :
ax + b = 0
ax = -b (kita
kurangi kedua sisi dengan b)
x = (kita bagi
kedua sisi dengan a)
Contoh 2.1
Persamaan Linear
Selesaikan persamaan berikut :
29 – 2x = 15x – 5
Penyelesaian : 29 – 2x = 15x – 5
29 – 2x – 15x = -5 (kita kurangi dengan 15x)
29
- 17x = -5 (kita kombinasikan term sejenis)
-17x
=-34 (kita kurangi dengan 29)
17x = 34 (kita
kalikan dengan -1)
x = (kita bagi dengan
17)
x = 2
A.1 Aplikasi Persamaan Linear
Pertanyaan yang sering
muncul dalam dunia nyata, biasanya
dinyatakan dalam bentuk kata-kata dari pada dalam simbol matematika. Sebagai contoh: ” Berapa besar pembayaran angsuran perbulan dari pinjaman?,
” Berapa lama penerbangan menuju Banda Aceh?”, atau ” berapa banyak produk baru
yang bisa dihemat”. Untuk menjawab pertanyaan tersebut diperlukan impormasi
lebih lanjut. Sebagai misal, untuk menentukan pembayaran besar angsuran sebuah pinjaman, kita harus
mengetahui berapa besar pinjamannya serta berapa bunga tiap periode waktunya.
Permasalahan dalam
bentuk kata-kata dinamakan ” Soal cerita”. Untuk menjawab
pertanyaan tersebut kita rekomendasikan prosedur sistematis sebagai berikut :
Tahap 1. Mulai membaca
permasalahan dengan hati-hati dan diulang beberapa kali jika diperlukan sampai
kita paham dengan baik. Selanjutnya membuat pertanyaan yang harus dijawab.
Tahap 2. Daftarkan
semua kuantitas numerik yang diketahui dan yang tidak diketahui yang ada dalam
permasalahan.
Tahap 3. Mengunakan informasi yang kita dapat,
kemudian sederhanakan persoalan dengan membuat
hubungan secara aljabar dari kuantitas numerik dari tahap 2. Hubungan ini
dapat dinyatakan dalam term x. Baca
kembali masalah kalimat demi kalimat untuk meyakinkan semua masalah yang telah
kita tuliskan sudah dibuat dalam bentuk
persamaan aljabar.
Tahap 4. Kombinasi
hubungan aljabar dari tahap 3 kedalam satu persamaan yang hanya menggunakan x dan konstanta numerik yang diketahui.
Tahap 5. Selesaikan
persamaan untuk x. Gunakan nilai x untuk menjawab pertanyaan yang lain.
Tahap 6. Periksa
jawaban anda untuk meyakinkan bahwa fakta dalam permasalahan sesuai dengan
jawaban.
Contoh 2 .2
Soal Aplikasi Persamaan Linear
- Angka pertama adalah kurang 15 dari sebuah angka kedua. Tiga kali angka pertama ditambah dua kali angka kedua jumlahnya adalah 80. Berapakah angka pertama tersebut ?.
Penyelesaian Kita buat outline sesuai prosedur
Tahap 1. Membuat Pertanyaan . Berapakah angka
kedua?
Tahap 2. Kuantitas
yang tidak diketahui : Angka pertama
dan angka kedua, kita misalkan x = angka pertama. Kuantitas yang diketahui
jumlah 3 angka pertama dan 2 angka kedua
adalah 80.
Tahap 3. Membuat
persamaan atau hubungan dari Informasi yang diketahui :
(i)
Angka pertama = angka kedua -15,
x = angka kedua -15
(ii)
3 (angka pertama) + 2 (angka kedua) = 80,
3x
+ 2 (angka kedua) = 80
Tahap 4. Kombinasi
hubungan-hubungan yang ada pada tahap 3. Dari hubungan (i) dalam tahapan
ketiga, kita dapatkan angka kedua = x + 15 . Oleh karena itu
hubungan (ii) dapat kita tuliskan menjadi 3x
+ 2 (x + 15) = 80
Tahap 5. Selesaikan persamaan :
3x + 2 (x
+ 15) = 80
3x + 2x + 30 = 80
5x =
50
x = 10
Maka : angka
pertama =
x = 10
angka kedua = x + 15 = 10 + 15 = 25
Tahap 6. Periksa : 10 kurang 15 dari 25 dan 3(10)+2(25)
= 80.
Contoh lain : (coba kerjakan)
2. Sebuah kursi dijual dengan harga $ 75. Berapa harga awal kursi jika ternyata harga jual itu telah didiskon 25%.
- Johan mempunyai uang sebanyak setengah dari uang Bob. Jika Bob memberikan $ 5 dolar kepada Johan maka Johan akan mempunyai uang $ 4 lebih sedikit dari uang Bob terakhir. Berapakah jumlah uang mereka ?
- Jumlah tiga bilangan bulat berurutan adalah 63. Berapa saja bilangan bulat tersebut ?
B. Persamaan Derajat Kedua atau Persamaan Kuadrat
Persamaan kuadrat
adalah persamaan dalam x (dimana x merupakan variable) yang berderajat dua,
yang berarti dalam persamaan tersebut pangkat x yang tertinggi adalah dua.
Bentuk umum :
ax 2 + bx + c = 0,
Dimana a, b, c
konstanta dan a ≠ 0
Bentuk Khusus
a = 1 è x2 + bx +
c = 0 è persamaan kuadrat
biasa
b = 0 è x2 + c = 0 è persamaan kuadrat
murni
c = 0 è x2 + bx = 0 è persamaan
kuadrat tidak lengkap
B.1 Penyelesaian Persamaan Kuadrat
B.1.1 Dengan Penguraian/Faktorisasi
·
Persamaan kuadrat: x2 + bx + c
Perhatikan :
(x +p)(x + q) =
x2 + px + qx + pq
= x2 +
(p+q)x + pq
Artinya : b = p + q
c = pq
Contoh
2.3
Cari
solusi persamaan kuadrat berikut :
a.
x2 + 6x + 8 = 0
Solusi : x2
+ 6x + 8 = 0
b
= 6 = p + q
c
= 8 = pq
maka
p= 2 dan q = 4, sehingga :
(x
+ 2)(x + 4)= 0 è x1 = -2 ; x2 = -4
·
Persamaan kuadrat : ax2 + bx + c
Perhatikan : ( metode grouping)
Tahap 1. Cari perkalian a.c
Tahap
2. Cari nilai-nilai positif dan negatif
dari faktor perkalian a.c.
Tahap
3. Jumlahkan faktor-faktor
tahap 2 pilih yang nilainya adalah term tengah
Tahap4.
Menggunakan tahap 3 , tulis
persamaan menggunakan faktor tersebut dalam bentuk
(nilai faktor1.x) + ( nilai faktor 2.x)
Untuk merubah term tengah
(bx)
Tahap5. Faktor yang dihasilkan dinyatakan
oleh “ grouping”.
Contoh 2.4 :
Cari
solusi persamaan kuadrat berikut :
b.
2x2 + 7x + 5 = 0
Solusi :
Tahap 1. Kita hitung a. c = 2 x 5 = 10
Tahap 2,3. Kita cari integer faktor 10 dan jumlahkan.
Faktor Jumlah
1 x 10 11
1 x 10 11
-1x -10 -11
2 x 5 7
-2 x -5 -7
Yang
dipilih adalah 2 dan 5 (2+5 =7 =b).
Tahap 4. Kita ganti 7x 2x + 5x
Persamaan = 2x2 +
2x + 5x + 5
Tahap 5. Kita faktorkan melalui “grouping”
2x2
+ 7x + 5 = 0
(2x2 + 2x)+
(5x + 5) = 0
2x(x + 1) + 5(x
+ 1) = 0
(2x + 5) ( x + 1)
= 0
x1 = dan x2 = -1
B.1.2 Dengan Rumus ABC
Persamaan kuadrat : ax2 + bx + c = 0
akar persamaan kuadratnya =
Dari rumus abc ini, bilangan ( b2
– 4ac) disebut diskriminan dan dinyatakan dengan notasi D. Diskriminan dapat
dipakai untuk menyelidiki akar-akar persamaan kuadrat. Jika x1 dan
x2 adalah akar-akar dari suatu persamaan kuadrat, maka :
1.
Jika D > 0, mempunyai 2 akar riil yang tidak sama (x1 ≠ X2)
2.
Jika D = 0, mempunyai 1 akar riil yang sama ( x1 = x2)
3.
Jika D < 0, mempunyai akar kompleks (x1
& x2 imajiner)
2.2
Pertidaksamaaan
Pertidaksamaan suatu variable adalah suatu bentuk aljabar dengan satu variable
yang dihubungkan dengan relasi urutan.
Bentuk umum pertidaksamaan :
Dimana : A(x), B(x), C(x) dan D(x) adalah
suku banyak (polinom) dan B(x) serta D(x) ≠0
Menyelesaikan suatu pertidaksamaan adalah mencari
semua himpunan bilangan riil yang membuat pertidaksamaan berlaku. Berbeda
dengan persamaan, dimana himpunan pemecahannya secara normal terdiri dari satu
bilangan atau mungkin sejumlah bilangan berhingga. Himpunan penyelesaian (Hp) suatu
pertidaksamaan biasanya terdiri dari suatu keseluruhan selang bilangan atau
dalam beberapa kasus suatu gabungan dari selang-selang.
Suatu pertidaksamaan biasanya dilambangkan
dengan :
1. > : lebih besar
2. < : lebih kecil
3. ≥ : lebih besar sama dengan
4. ≤ : lebih kecil sama dengan
2.2.1 Selang / Interval
Setiap bilangan real mempunyai posisi
pada suatu garis yang disebut dengan
garis bilangan(real). Selang adalah
merupakan himpunan bagian dari garis bilangan
Ada dua jenis selang yaitu Selang Terbuka dan Selang Tertutup.
Pertidaksamaan dengan selang terbuka :
a < x < b memberikan selang
terbuka yang terdiri dari semua bilangan
antara a dan b, tidak termasuk titik-titik ujung a dan b. atau bisa juga
dilambangkan dengan (a,b).
Pertidaksamaan dengan selang tertutup : a ≤ x ≤ b memberikan
selang tertutup yang berpadanan dan mencakup titik-titik ujung a dan b. Dilambangkan
dengan [a,b]
Tabel 1. Penulisan Himpunan dan Selang
Himpunan
|
Selang
|
Grafik
|
{ x : a < x < b}
|
(a,b)
|
_____(____)____
|
{ x : a ≤ x ≤ b}
|
[a,b]
|
_____[____]_____
|
{ x : a ≤ x < b}
|
[a,b)
|
_____[____)_____
|
{ x : a < x ≤ b}
|
(a,b]
|
_____(____]_____
|
{ x : x ≤ b}
|
(-∞ , b]
|
]____
|
{ x : x < b}
|
(-∞ , b)
|
)____
|
{ x : x
≥ a}
|
[a, ∞)
|
___[
|
{ x : x > a}
|
(a, ∞)
|
___(
|
(-∞ ,
∞)
|
2.2.2 Sifat –Sifat Pertidaksamaan
1. Suku–suku dari ruas yang satu dapat
dipindahkan ke ruas yang lain, asal tandanya diganti.
Contoh :
a + b < c è menjadi a + b – c < 0
2. Kedua ruas pertidaksamaan dapat ditambah
atau dikurangi dengan bilangan yang sama tanpa merubah tanda pertidaksamaan.
Contoh :
a < b è menjadi a
+ c < b + c
a
– c < b – c
3. Sebuah pertidaksamaan tidak berubah
tandanya jika kedua ruasnya dikalikan atau dibagi dengan bilangan positif yang
sama.
Contoh a < b dan
c > 0 è ac
< bc
<
4.
Sebuah pertidaksamaan berubah tandanya jika kedua ruasnya
dikalikan atau dibagi dengan bilangan negatif yang sama.
Contoh a < b dan
c < 0 è ac >
bc
>
5.
Apabila a dan b kedua-duanya positif dan a
< b maka a2 < b2
2.2.3 Menentukan
Himpunan Penyelesaian (Hp) Pertidaksamaan
Cara menentukan Hp sebuah pertidaksamaan :
1. Bentuk pertidaksamaan diubah menjadi :
, dengan
cara :
·
Ruas kiri atau ruas kanan dinolkan.
·
Menyamakan penyebut dan menyederhanakan bentuk pembilangnya.
2. Dicari titik-titik pemecah dari pembilang
dan penyebut dengan cara P(x) dan Q(x) diuraikan menjadi faktor-faktor linear
dan atau kuadrat.
3. Gambarkan titik-titik pemecah tersebut pada
garis bilangan, kemudian tentukan tanda (+,-)
pertidaksamaan disetiap selang bagian yang muncul.
Contoh 2.2
Carilah Hp untuk pertidaksamaan dibawah ini :
1. 13 ≥ 2x - 3 ≥ 5
13 + 3 ≥ 2x ≥ 5
+ 3
16 ≥ 2x ≥ 8
4 ≤ x ≤ 8
Hp= [4,8]
2. -2 < 6 – 4x ≤ 8
-8 < -4x ≤ 2
8 > 4x ≥ -2
atau
-2 ≤ 4x < 8
-1/2 ≤ x < 2
Hp = [-1/2, 2)
3. 2x2 – 5x – 3 < o
(2x + 1)( x –
3) < 0
Titik Pemecah (TP) : x = -1/2 dan x=3
Uji tanda =/-
tiap selang .
Selang
|
Titik Uji
|
Tanda
|
||
(2x + 1)
|
(x – 3)
|
f (x)
|
||
x < -1/2
|
-1
|
-
|
-
|
+
|
-1/2 < x < 3
|
0
|
+
|
-
|
-
|
x > 3
|
4
|
+
|
+
|
+
|
Dari tabel
terlihat bahwa pada selang -1/2 < x
< 3 , tandanya sesuai dengan pertidaksamaan ( <0 /- ). Jadi Hp
(-1/2, 3).
4. 2x – 4 ≤ 6 - 7x ≤ 3x + 6
2x – 4 ≤ 6 - 7x dan 6
- 7x ≤ 3x + 6
2x + 7x ≤ 6 + 4 dan -7x
-3x ≤ 6 – 6
9x ≤ 10 dan -10x ≤ 0
X ≤ dan 10x ≥ 0
atau = x ≥ 0
Hp = (-∞,] [0, ∞) atau = Hp [0, ]
5. <
- < 0
< 0
< 0
TP : -1 . , 3,
Hp : (-∞, -1) (-, 3)
2.3 Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Jika x adalah bilangan real, maka , nilai absolut x didefinisikan :
·
= x , jika x > 0
·
= -x , jika x < 0
·
= 0 , jika x = 0
Misal
:
= 5 , karena 5 > 0
= 0 , karena 0 = 0
=- (-5) = 5, kareana
-5 < 0
2.3.1 Persamaan meliputi Nilai Mutlak
Theorema 1 Solusi untuk Persamaan = a
Jika
a adalah bilangan real.
1.
Jika a > 0 , maka = a jika dan hanya
jika u = -a atau u = a
2.
JIka a < 0 , maka persamaan = a tidak ada
solusinya
3.
Jika = 0 jika dan hanya
jika u = 0
Contoh 2.3.
Cari solusi untuk masing-masing persamaan
berikut :
a.
= 12
Menggunakan
theorema 1. , u = 4x , kita mempunyai 2 persamaan yaitu 4x = -12 atau 4x = 12,
solusinya x = -3 atau x = 3
b. - 1 = 17
Persamaan ini
equivalen dengan = 18 , maka
menggunakan theorema 1 , 3t =-18 atau 3t
= 18 , solusinya t = -6 atau t = 6
c.
= -3
Menggunakan theorema 2. Persamaan tersebut tidak ada solusinya.
d. = 0
Menggunakan theorema
3, persamaan ini equivalen x2 + x – 6 = 0 atau (x + 3)(x – 2)
= 0. Solusi
adalah x = -3 dan x =2
Theorema 2 Solusi
untuk Persamaan =
= jika dan hanya
jika u = -v atau u = v
e. Selesaikan persamaan =
Menggunakan theorema 2
dengan u = p - 5 dan v = 3p +
7, maka persamaan ini diselesaikan
p – 5 = 3p + 7 atau p – 5 = - (3p + 7)
-2p = 12 atau 4p = -2
p = -6 atau p = -1/2
2.3.2 Pertidaksaman Meliputi Nilai Mutlak
Theorema 3 Solusi untuk Pertidaksamaan < a dan ≤ a
Jika a > 0 , maka
1.
< a jika dan hanya jika -a < u < a
2.
≤ a jika dan hanya jika -a ≤ u ≤ a
Theorema
4 Solusi untuk Pertidaksamaan > a dan ≥ a
Jika a > 0 , maka
1.
> a jika dan
hanya jika u < -a atau u > a
2.
≥ a jika dan hanya
jika u ≤ -a atau u ≥ a
f. Carilah Hp dari pertidaksamaan < 5
Menggunakan theorem 3. 1 maka
< 5
-5 < 2x + 3 < 5
-8 < 2x < 2
-4 < x < 1 ,
maka Hp = (-4, 1)
g. Carilah Hp dari pertidaksamaan ≥ 2
Menggunakan theorema 4.2 , maka ≥ 2
x – 1 ≤ -2 atau x – 1 ≥ 2
x ≤ -1 atau x ≥ 3
x ≤ -2 atau
x ≥ 6
Hp : (-∞, -2] [6,∞)
2.3.3 Sifat-sifat yang lain dari nilai mutlak :
1.
Untuk a dan b bilangan real berlaku
2. ≤ x2 ≤
y2
3. asalkan y ≠ 0
4. Ketaksamaan segitiga
≤ ≤ +
≤ ≤
h. Selesaikan persamaan berikut : ≥
Kita gunakan sifat ke -2
(2x +3)2 ≥
(4x + 5)2
4x2 + 12 +
9 ≥ 16x2 + 40x + 25
-12x2 -28 -16 ≥ 0
3x2 + 7x + 4 ≥ 0
(3x + 4)(x + 1) ≥ 0
TP :
-, -1, coba cek dengan membuat tabel uji.
Hp = [,∞) (-∞, -1] atau (-∞,] [-1,∞)
Soal-soal
Latihan
1. Seorang pejoging dan pengendara sepeda
meninggalkan sebuah lapangan di depan rumah secara bersamaan menuju ke luar
kota. Pejoging berlari dengan kecepatan konstan 16 km perjam. Pada akhir jam
kedua, pengendara sepeda sudah berada 19,2 km di depan pejoging. Berapakah
kecepatan pengendara sepeda tersebut.
2. Gunakan formula persamaan kuadrat untuk
menyelesaikan masalah-masalah berikut .
a.
5x2 – 7x – 6 =
0
b. 3x2 + 5x + 1 = 0
c.
6x2 –x-2 = 0
3. Carilah solusi pertidaksamaan dan buat
sketsa garis bilangan dari masing-masing solusinya.
a.
3x + 1 ≤ 2 –x < 18 + 7x
b. 0 < 3x - 5 ≤ 16
c.
= 16
d. + 2 = 17
e.
=0
f.
-1 ≤ 7
g.