Rumus-rumus Kalkulus

BAB I

SISTEM BILANGAN

1.1      Struktur Bilangan

Dalam kehidupan sehari-hari, sering kita gunakan ungkapan-ungkapan semisal : tiga buah jeruk, sembilan buah bola atau lima lembar uang ribuan. Kata : tiga, delapan dan lima membantu kita untuk menyatakan keadaan tertentu, tetapi kita tidak tahu apa yang dimaksud dengan ungkapan itu.  Dalam matematika, ungkapan-ungkapan di atas kita sebut dengan bilangan.

Secara garis besar  sistem bilangan digambarkan dalam struktur bilangan. Hirarki yang paling tinggi adalah bilangan kompleks. Bilangan kompleks terdiri dari bilangan nyata (riil) dan bilangan khayal (imajiner). Bilangan imajiner ini ada karena secara perhitungan ilmiah diperlukan,  tetapi hasil hitungannya tidak ada. Bilangan imajiner ini adalah  yang biasa dinotasikan dengan i.

Bilangan selanjutnya adalah bilangan riil terdiri dari bilangan rasional dan irrasional. Bilangan rasional terdiri dari bilangan bulat dan pecahan.  Bilangan bulat terdiri dari bilangan bulat positif dan nol atau disebut juga  bilangan cacah serta bilangan bulat negative.

Secara garis besar struktur bilangan disajikan pada Gambar 1.

                                                              

 

Gambar 1 . Struktur Bilangan

1.1.1               Bilangan Nyata (Riil)

Bilangan nyata adalah bilangan yang mengandung salah satu sifat secara tegas yaitu positif atau negatif dan tidak kedua-duanya.

Contoh : 2; -2; 1; -1,1 ,……

1.1.2               Bilangan Asli

Bilangan asli adalah bilangan bulat positif dimulai dari 1.

Contoh : 1,2,3,…, 100, 5000, 12345, ….

1.1.3               Bilangan Cacah

Bilangan cacah adalah semua bilangan bulat positif termasuk di dalamnya bilangan nol.

Contoh: 0,1,2,3,…..,100, 2340, 10345, ….

1.1.4               Bilangan Bulat Negatif

Bilangan bulat negative adalah bilangan yang bernilai/bertanda negative

Contoh : -1,-2,-3,…, -10,-500, -16789,…

1.1.5               Bilangan Bulat Positif

Bilangan bulat adalah terdiri dari bilangan bulat positif , bilangan bilat negatif dan nol .

Contoh : ….., -546, …, -3,-2,-1,0,1,2,3,…, 546,…

1.1.6               Bilangan Pecahan

Bilangan pecahan adalah bilangan bulat yang dinyatakan dalam bentuk a/b dengan a,b Î { bilangan bulat} dan b ¹ 0

Contoh :  5/6, 3/4, 15/47  dan lain-lain.

Bilangan yang dapat disederhanakan seperti 4/2, 9/3, 12/4 bukan termasuk bilangan pecahan , tetapi termasuk bilangan bulat.

1.1.7               Bilangan Rasional

Bilangan rasional adalah bilangan riil yang dapat dinyatakan sebagai a/b dimana a, b Î { bilangan bulat } dan b ¹ 0, atau berupa pecahan dengan desimal terbatas , atau desimal berulang.

Contoh :

3/8  = 0,357

2/3 = 0,666667                      (decimal terbatas)

2/11        = 0,18181818                  (decimal berulang)

1.1.8               Bilangan Irrasional

Bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai a/b dimana a, b Î { bilangan bulat } dan b ¹ 0, atau berupa pecahan dengan decimal tidak terbatas dan tidak berulang.

Contoh :  Ö3, Ö5, log 6 dan lain-lain

Atau

Desimal tak berhingga tak berulang

Contoh :

0,123456 è bilangan irrasional karena tidak dapat dinyatakan   sebagai pecahan

1.1.9               Bilangan Riil

Bilangan riil adalah gabungan himpunan bilangan  rasional dan bilangan irrasional.

Notasi : R è R = { x / -∞< x < +∞)

Contoh : -3, 0, 1/3, Ö3, Ö5, log 6 dan lain-lain

1.1.10           Bilangan Khayal /Imajiner

Bilangan khayal /imajiner merupakan suatu bilangan akar negative yang ditemukan saat menyelesaikan suatu persoalan ilmu pengetahuan. Dalam banyak penyelesaian masalah sains dan teknologi, manusia menemukan solusi dalam bentuk akar negative yang secara logis menjadi tidak terdefinisi. Oleh karena itu dibuatlah suatu bilangan baru yang disebut dengan bilangan khayal/imajiner yaitu bilangan dalam bentuk akar negative.

Contoh : Ö-3, Ö-(5/7) dan lain-lain

i = j = Ö-1

Bilangan imajiner biasa ditulis dengan notasi i atau j yang artinya Ö-1

Contoh :

Ö-9 = Ö9  . Ö-1 atau ditulis 3i atau 3 j

Bilangan imajiner berpangkat genap akan menjadi bilangan riil

Contoh : 4i³ . 3i = 12

Bilangan imajiner berpangkat ganjil akan tetap menjadi  bilangan imajiner baik positif maupun negative..

Contoh : 4i³ . 3 i² = 12i⁵ = 12 i

Perhatian :

                        i¹ = i         i⁵ = i

                        i² = -1       i⁶ = -1

                        i³ = -i        i⁷ = -i

                        i⁴ = 1                i⁸ = 1

contoh :

carilah nilai :   i ⁵⁹ = i ^{56 + 3} = (i⁴)¹⁴ . i³= (1) ¹⁴ . –I = -i

1.1.11           Bilangan Kompleks

Bilangan kompleks merupakan bilangan yang berbentuk a + bi, atau a+bj dimana a dan b bilangan riil sedangkan i atau j adalah bilangan imajiner. Bilangan kompleks biasa dinyatakan dengan notasi c, z atau s. Misalkan dalam pembahasan kita menggunakan z, maka z = 5 + 3 i adalah bilangan kompleks.

a.           Operasi Aljabar Bilangan Kompleks

Jika a, b, c dan d adalah bilangan real, maka

1.  (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

2.  (a + bi) -  (c + di) = (a -  c) + (b - d)i

3.  (a + bi) (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i

4. 

Latihan

1.  Nyatakan masing-masing bilangan kompleks berikut ke dalam bentuk a + bi , dimana a dan b adalah bilangan riil.

a.   3 +

b. 

c.  

d. 

e.   (4 + 2i)(3 – 3i)

f.    i²¹

BAB II

PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN

2.1 Persamaan

Sebuah persamaaan mengandung sebuah variabel  yang bisa benar ataupun salah jika sebuah angka disubstitusikan kedalam variabel tersebut. Sebuah pernyataan benar dihasilkan dari sebuah substitusi  yang membuat persamaan menjadi berkesesuaian. Misal, substitusi x=3 sesuai untuk persamaam x²=9, tetapi x=4 tidak.

Sebuah persamaan yang berkesesuaian untuk setiap substitusi antara kedua sisi  dinamanakan persamaan identik . misal , (x+1)² = x²+2x+ 1 adalah sebuah persaman identik. Sebuah persamaan yang tidak identik dinamakan persamaan kondisional. Misal, 2x=6 adalah persamaan kondisional, yaitu persamaan yang memiliki sekurang-kurangnya satu subtitusi menghasilkan pernyataan yang salah, (misal x=4).

Jika sebuah substitusi x=a berkesesuaian pada persamaan, kita katakan bahwa angka a adalah solusi atau akar dari persamaan tersebut. Misal 3, adalah solusi/akar dari persamaan 2x=6, tetapi 4 adalah bukan. Dua persamaan dikatakan equivalent jika kedua persaman tersebut mempunyai solusi /akar yang sama, misal 2x-6=0 adalah equivalent dengan 2x=6, karena keduanya mempunyai solusi yang sama yaitu x=3.

Kita dapat mengubah sebuah persaman equivalen satu sama lain mengikuti operasi sebagai berikut :

1.                    Tambahkan atau kurangi dengan kuantitas yang sama kedua sisi.

2.                    Kalikan atau bagi kedua sisi persaman dengan kuantitas yang sama kecuali dengan nol.

3.                    Sederhanakan salah satu atau kedua sisi  persamaan.

4.                    Rubah kedua sisi persaman.

Contoh,  selesaikan persaman  berikut :

2x-6=0

Kita mulai dengan menambah 6 kedua sisi untuk mendapatkan persamaan yang equivalen yaitu :

2x=6

Kemudian kita bagi kedua sisi dengan 2 untuk menghasilkan persamaan equivalen berikutnya yaitu :

x=3

Persamaan terakhir menunjukan bahwa x=3 adalah akar/solusi dari persaman tersebut.

2.1.1 Jenis-Jenis Persamaan

A.          Persaman Derajat Pertama atau Persaman Linear

 

Sebuah persamaan  derajat pertama atau persamaan linear dalam x ditulis standar dalam bentuk :

ax  + b = 0 , dengan a ≠ 0.

Persamaan ini dapat diselesaikan mengikuti langkah-langkah berikut :

        ax + b = 0

              ax = -b        (kita kurangi kedua sisi dengan b)

                x =       (kita bagi kedua sisi dengan a)

Contoh  2.1    

Persamaan Linear

Selesaikan persamaan berikut :

                                29 – 2x = 15x – 5

Penyelesaian :          29 – 2x = 15x – 5

        29 – 2x – 15x = -5    (kita kurangi dengan 15x)

                29 - 17x =  -5   (kita kombinasikan term  sejenis)

                      -17x =-34   (kita kurangi dengan 29)

                       17x = 34   (kita kalikan dengan -1)

                           x =     (kita bagi dengan 17)

                            x = 2

A.1  Aplikasi Persamaan Linear

Pertanyaan yang sering muncul dalam dunia nyata,  biasanya dinyatakan dalam bentuk kata-kata dari pada dalam simbol matematika.  Sebagai contoh: ” Berapa besar  pembayaran angsuran perbulan dari pinjaman?, ” Berapa lama penerbangan menuju Banda Aceh?”, atau ” berapa banyak produk baru yang bisa dihemat”. Untuk menjawab pertanyaan tersebut diperlukan impormasi lebih lanjut. Sebagai misal, untuk menentukan pembayaran  besar angsuran sebuah pinjaman, kita harus mengetahui berapa besar pinjamannya serta berapa bunga tiap periode waktunya.

Permasalahan dalam bentuk kata-kata dinamakan ” Soal cerita”. Untuk menjawab pertanyaan tersebut kita rekomendasikan prosedur sistematis sebagai berikut :

Tahap 1. Mulai membaca permasalahan dengan hati-hati dan diulang beberapa kali jika diperlukan sampai kita paham dengan baik. Selanjutnya membuat pertanyaan yang harus dijawab.

Tahap 2. Daftarkan semua kuantitas numerik yang diketahui dan yang tidak diketahui yang ada dalam permasalahan.

Tahap 3.  Mengunakan informasi yang kita dapat, kemudian  sederhanakan persoalan dengan membuat hubungan secara aljabar dari kuantitas numerik dari tahap 2. Hubungan ini dapat dinyatakan dalam term x. Baca kembali masalah kalimat demi kalimat untuk meyakinkan semua masalah yang telah kita tuliskan  sudah dibuat dalam bentuk persamaan aljabar.

Tahap 4. Kombinasi hubungan aljabar dari tahap 3 kedalam satu persamaan yang hanya menggunakan   x dan konstanta numerik yang diketahui.

Tahap 5. Selesaikan persamaan untuk x. Gunakan nilai x untuk menjawab pertanyaan yang lain.

Tahap 6. Periksa jawaban anda untuk meyakinkan bahwa fakta dalam permasalahan sesuai dengan jawaban.

Contoh 2 .2

Soal Aplikasi Persamaan Linear

1. Angka  pertama adalah kurang 15 dari sebuah angka kedua. Tiga kali angka pertama ditambah dua kali angka kedua jumlahnya adalah 80. Berapakah angka pertama tersebut ?.

Penyelesaian    Kita buat outline sesuai prosedur

Tahap 1. Membuat  Pertanyaan . Berapakah angka kedua?

Tahap 2. Kuantitas yang tidak diketahui :  Angka pertama dan angka kedua, kita misalkan x = angka pertama. Kuantitas yang diketahui jumlah 3 angka pertama  dan 2 angka kedua adalah 80.

Tahap 3. Membuat persamaan atau hubungan dari Informasi yang diketahui :

(i)          Angka pertama  = angka kedua -15, 

                             x  = angka kedua -15

(ii)        3 (angka pertama) + 2 (angka kedua) = 80,

                              3x  + 2 (angka kedua) = 80

Tahap 4. Kombinasi hubungan-hubungan yang ada pada tahap 3. Dari hubungan (i) dalam tahapan ketiga, kita dapatkan  angka kedua = x + 15 . Oleh karena itu hubungan (ii) dapat kita tuliskan menjadi 3x  + 2 (x  + 15) = 80

Tahap 5. Selesaikan persamaan :

3x  + 2 (x  + 15) = 80

                   3x + 2x + 30  = 80

                                  5x  = 50

                                     x = 10

Maka :             angka pertama        = x = 10

                        angka kedua            = x + 15 = 10 + 15 = 25

Tahap 6. Periksa : 10 kurang 15 dari 25 dan 3(10)+2(25) = 80.

Contoh lain : (coba kerjakan)

2.  Sebuah kursi dijual dengan harga $ 75. Berapa harga awal kursi jika ternyata harga jual itu telah didiskon 25%.

3. Johan mempunyai uang sebanyak setengah dari uang Bob. Jika Bob memberikan $ 5 dolar kepada Johan maka Johan akan mempunyai uang $ 4 lebih sedikit dari uang Bob terakhir. Berapakah jumlah uang mereka ?

4. Jumlah tiga bilangan bulat berurutan adalah 63. Berapa saja bilangan bulat tersebut ?

B.          Persamaan Derajat Kedua atau Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat adalah persamaan dalam x (dimana x merupakan variable) yang berderajat dua, yang berarti dalam persamaan tersebut pangkat x yang tertinggi adalah dua.

Bentuk umum :

ax ² + bx + c = 0,

Dimana a, b, c konstanta dan a ≠ 0

Bentuk Khusus

a = 1 è x² + bx + c = 0     è     persamaan kuadrat biasa

b = 0 è x² + c = 0             è     persamaan kuadrat murni

c = 0 è x² + bx = 0           è  persamaan kuadrat tidak         lengkap

B.1 Penyelesaian Persamaan Kuadrat

B.1.1 Dengan Penguraian/Faktorisasi

·        Persamaan kuadrat:       x² + bx + c

Perhatikan :

 (x +p)(x + q) = x² + px + qx + pq

                    = x² + (p+q)x  + pq

Artinya :       b = p + q

                    c = pq

Contoh 2.3

Cari solusi persamaan kuadrat berikut :

a.                                   x² + 6x + 8 = 0

Solusi :    x² + 6x + 8 = 0

                b = 6 = p + q

c = 8 = pq

                maka p= 2 dan q = 4, sehingga :

                (x + 2)(x + 4)= 0                è x_{1 =} -2 ; x₂ = -4

·        Persamaan kuadrat :              ax² + bx + c

Perhatikan : ( metode grouping)

Tahap 1.      Cari perkalian a.c

Tahap 2.      Cari nilai-nilai positif dan negatif dari faktor perkalian a.c.

Tahap 3.      Jumlahkan faktor-faktor tahap 2 pilih yang nilainya adalah term tengah

Tahap4.       Menggunakan tahap 3 , tulis persamaan menggunakan faktor tersebut dalam bentuk

                            (nilai faktor1.x) + ( nilai faktor 2.x)

                    Untuk merubah term tengah (bx)

Tahap5.       Faktor yang dihasilkan dinyatakan oleh        “ grouping”.

Contoh 2.4 :

Cari solusi persamaan kuadrat berikut :

b.                         2x² + 7x + 5 = 0 

Solusi :

Tahap 1.      Kita hitung a. c  = 2 x 5 = 10

Tahap 2,3.   Kita cari integer faktor 10 dan jumlahkan.

                    Faktor              Jumlah
                    1 x 10              11

                    -1x -10             -11

                    2 x 5                7

                    -2 x -5              -7

Yang dipilih adalah 2 dan 5 (2+5 =7 =b).

Tahap 4.      Kita ganti 7x 2x + 5x   

                    Persamaan = 2x² + 2x + 5x + 5

Tahap 5.      Kita faktorkan melalui “grouping”

                        2x² + 7x + 5 = 0 

                     (2x² + 2x)+ (5x + 5) = 0

                     2x(x + 1) + 5(x + 1) = 0

                     (2x + 5) ( x + 1) = 0

                    x₁ =  dan x₂ = -1

B.1.2 Dengan Rumus ABC

Persamaan kuadrat :               ax² + bx + c = 0 

akar persamaan kuadratnya =

Dari rumus abc ini, bilangan ( b² – 4ac) disebut diskriminan dan dinyatakan dengan notasi D. Diskriminan dapat dipakai untuk menyelidiki akar-akar persamaan kuadrat. Jika x₁ dan x₂ adalah akar-akar dari suatu persamaan kuadrat, maka :

1.  Jika  D > 0, mempunyai 2 akar  riil yang tidak sama (x₁ ≠ X₂)

2.  Jika  D = 0, mempunyai 1 akar riil  yang sama ( x₁ = x₂)

3.  Jika D < 0, mempunyai akar kompleks (x₁ & x₂ imajiner)

2.2              Pertidaksamaaan

Pertidaksamaan suatu variable adalah  suatu bentuk aljabar dengan satu variable yang dihubungkan dengan relasi urutan.

Bentuk umum pertidaksamaan :

Dimana : A(x), B(x), C(x) dan D(x) adalah suku banyak (polinom) dan B(x) serta D(x) ≠0

Menyelesaikan suatu pertidaksamaan adalah mencari semua himpunan bilangan riil yang membuat pertidaksamaan berlaku. Berbeda dengan persamaan, dimana himpunan pemecahannya secara normal terdiri dari satu bilangan atau mungkin sejumlah bilangan berhingga. Himpunan penyelesaian (Hp) suatu pertidaksamaan biasanya terdiri dari suatu keseluruhan selang bilangan atau dalam beberapa kasus suatu gabungan dari selang-selang. 

Suatu pertidaksamaan biasanya dilambangkan dengan :

1.  > : lebih besar

2.  < : lebih kecil

3.  ≥ : lebih besar sama dengan

4.  ≤ : lebih kecil sama dengan 

2.2.1  Selang / Interval

Setiap bilangan real mempunyai posisi pada  suatu garis yang disebut dengan garis bilangan(real). Selang adalah merupakan himpunan bagian dari garis bilangan

Ada dua jenis selang yaitu Selang Terbuka dan Selang Tertutup. Pertidaksamaan dengan selang terbuka :            a < x < b memberikan selang terbuka yang terdiri dari semua bilangan  antara a dan b, tidak termasuk titik-titik ujung a dan b. atau bisa juga dilambangkan dengan (a,b).

Pertidaksamaan  dengan selang tertutup : a ≤ x ≤ b memberikan selang tertutup yang berpadanan dan mencakup titik-titik ujung a dan b. Dilambangkan dengan [a,b]

Tabel 1. Penulisan Himpunan dan Selang

Himpunan	Selang	Grafik
{ x : a < x < b}	(a,b)	_____(____)____
{ x : a ≤ x ≤ b}	[a,b]	_____[____]_____
{ x : a ≤ x < b}	[a,b)	_____[____)_____
{ x : a < x ≤ b}	(a,b]	_____(____]_____
{ x : x ≤ b}	(-∞ , b]	]____
{ x : x < b}	(-∞ , b)	)____
{ x : x  ≥ a}	[a, ∞)	___[
{ x : x > a}	(a, ∞)	___(
	(-∞ ,  ∞)

2.2.2 Sifat –Sifat Pertidaksamaan

1.  Suku–suku dari ruas yang satu dapat dipindahkan ke ruas yang lain, asal tandanya diganti.

Contoh :

 a  + b < c     è menjadi a + b – c < 0

2.  Kedua ruas pertidaksamaan dapat ditambah atau dikurangi dengan bilangan yang sama tanpa merubah tanda pertidaksamaan.

    Contoh :

    a < b  è menjadi a + c < b + c

                                a – c < b – c

3.  Sebuah pertidaksamaan tidak berubah tandanya jika kedua ruasnya dikalikan atau dibagi dengan bilangan positif yang sama.

Contoh  a < b       dan c > 0 è      ac < bc

                                                     <  

4.    Sebuah pertidaksamaan berubah tandanya jika kedua ruasnya dikalikan atau dibagi dengan bilangan negatif yang sama.

Contoh  a < b       dan c < 0 è       ac > bc

                                                     >

5.                                                                      Apabila a dan b kedua-duanya positif dan a < b maka        a² < b²

2.2.3 Menentukan Himpunan Penyelesaian  (Hp)   Pertidaksamaan

 

Cara menentukan Hp sebuah pertidaksamaan :

1.  Bentuk pertidaksamaan diubah menjadi :

                  

                   , dengan cara :

·        Ruas kiri atau ruas kanan dinolkan.

·        Menyamakan penyebut dan menyederhanakan bentuk pembilangnya.

2.  Dicari titik-titik pemecah dari pembilang dan penyebut dengan cara P(x) dan Q(x) diuraikan menjadi faktor-faktor linear dan atau kuadrat.

3.  Gambarkan titik-titik pemecah tersebut pada garis bilangan, kemudian tentukan  tanda (+,-) pertidaksamaan disetiap selang bagian yang muncul.

Contoh 2.2

Carilah Hp untuk pertidaksamaan dibawah ini :

1.  13 ≥ 2x - 3 ≥ 5

13 + 3 ≥ 2x ≥ 5 + 3

16 ≥ 2x ≥ 8

4 ≤ x ≤ 8          

Hp= [4,8]                   

2.  -2 < 6 – 4x ≤ 8

-8 < -4x ≤ 2

8 > 4x ≥ -2 atau

-2 ≤ 4x < 8

-1/2 ≤ x < 2

Hp = [-1/2, 2)                  

3.  2x² – 5x – 3 < o

(2x + 1)( x – 3) < 0

Titik Pemecah  (TP) : x = -1/2 dan x=3

Uji tanda =/- tiap selang .

Selang	Titik Uji	Tanda
		(2x + 1)	(x – 3)	f (x)
x < -1/2	-1	-	-	+
-1/2 < x  < 3	0	+	-	-
x > 3	4	+	+	+

Dari tabel terlihat bahwa pada selang -1/2 < x  < 3 , tandanya sesuai dengan pertidaksamaan ( <0 /- ). Jadi Hp (-1/2, 3).

4.  2x – 4 ≤ 6 - 7x ≤ 3x + 6

2x – 4 ≤ 6 - 7x  dan          6 - 7x ≤ 3x + 6

2x + 7x ≤ 6 + 4 dan          -7x -3x ≤ 6 – 6

9x ≤ 10             dan          -10x ≤ 0

X ≤                dan          10x ≥ 0  atau = x ≥ 0

Hp = (-∞,] [0, ∞) atau = Hp [0, ]

5.  <

-  < 0

 < 0

 < 0

TP : -1 . , 3,

Hp : (-∞, -1) (-, 3)               

2.3 Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak

   

Jika x adalah bilangan real, maka , nilai absolut x didefinisikan  :

·         = x , jika x > 0

·        = -x , jika x < 0

·         = 0 , jika x = 0

Misal  :

                     = 5 , karena 5 > 0

                     = 0 , karena 0 = 0

                    =- (-5) = 5,  kareana -5 < 0

2.3.1  Persamaan  meliputi Nilai Mutlak

Theorema 1            Solusi untuk Persamaan   = a

            Jika a adalah bilangan real.

1.  Jika a > 0 , maka  = a jika dan hanya jika  u = -a atau u = a

2.  JIka a < 0 , maka persamaan  = a tidak ada solusinya

3.  Jika  = 0 jika dan hanya jika  u = 0

Contoh 2.3.

Cari solusi untuk masing-masing persamaan berikut :

a.    = 12

Menggunakan theorema 1. , u = 4x , kita mempunyai 2 persamaan yaitu 4x = -12 atau 4x = 12, solusinya       x = -3 atau x = 3

b.   - 1 = 17

Persamaan ini equivalen dengan  = 18 , maka menggunakan theorema 1 , 3t =-18  atau 3t = 18 , solusinya t = -6 atau t = 6

c.    = -3

Menggunakan theorema 2. Persamaan tersebut tidak ada solusinya.

d.  = 0

Menggunakan theorema 3, persamaan ini equivalen    x² + x – 6 = 0 atau (x + 3)(x – 2) = 0. Solusi adalah       x = -3 dan x =2

Theorema 2    Solusi untuk Persamaan =

         =  jika dan hanya jika  u = -v atau u = v

e.    Selesaikan persamaan  =

Menggunakan theorema 2 dengan u = p - 5 dan           v = 3p + 7, maka persamaan ini diselesaikan

        p – 5 = 3p + 7   atau p – 5 = - (3p + 7)

          -2p = 12         atau             4p = -2

             p = -6          atau               p = -1/2

2.3.2 Pertidaksaman Meliputi Nilai Mutlak

Theorema  3   Solusi untuk Pertidaksamaan   < a dan  ≤ a

    Jika a > 0  , maka

1.   < a  jika dan hanya jika  -a < u < a

2.   ≤ a  jika dan hanya jika  -a ≤ u ≤ a

Theorema  4   Solusi  untuk Pertidaksamaan  > a dan  ≥ a

    Jika  a > 0 , maka

1.   > a jika dan hanya jika  u < -a atau u > a

2.   ≥ a jika dan hanya jika  u ≤ -a  atau u ≥ a

f.    Carilah Hp dari pertidaksamaan   < 5

Menggunakan theorem 3. 1  maka

 < 5

 -5 < 2x + 3 < 5

 -8 < 2x < 2

 -4 < x < 1 ,

maka Hp = (-4, 1)    

g.    Carilah Hp dari pertidaksamaan  ≥ 2

Menggunakan theorema 4.2 , maka        ≥ 2

 x – 1 ≤ -2     atau         x – 1 ≥  2

     x ≤ -1    atau                 x  ≥  3

        x ≤ -2   atau            x ≥ 6

Hp : (-∞, -2]  [6,∞)      

   

2.3.3 Sifat-sifat  yang lain dari nilai mutlak :

1.  Untuk a dan b bilangan real berlaku

2.   ≤   x² ≤ y²

3.   asalkan y ≠ 0

4.  Ketaksamaan segitiga

≤  ≤  +       

≤  ≤

h.   Selesaikan persamaan berikut :  ≥

Kita gunakan sifat ke -2

(2x +3)²  ≥ (4x + 5)²

 4x² + 12 + 9 ≥ 16x² + 40x + 25

-12x² -28 -16 ≥ 0

3x² + 7x + 4 ≥ 0

(3x + 4)(x + 1) ≥ 0

TP :  -, -1, coba cek dengan membuat tabel uji.

Hp = [,∞) (-∞, -1] atau  (-∞,] [-1,∞)

Soal-soal Latihan

1.  Seorang pejoging dan pengendara sepeda meninggalkan sebuah lapangan di depan rumah secara bersamaan menuju ke luar kota. Pejoging berlari dengan kecepatan konstan 16 km perjam. Pada akhir jam kedua, pengendara sepeda sudah berada 19,2 km di depan pejoging. Berapakah kecepatan pengendara sepeda tersebut.

2.  Gunakan formula persamaan kuadrat untuk menyelesaikan masalah-masalah berikut .

a.   5x²  – 7x – 6 = 0

b.  3x² + 5x + 1 = 0

c.   6x² –x-2 = 0

3.  Carilah solusi pertidaksamaan dan buat sketsa garis bilangan dari masing-masing solusinya.

a.   3x + 1 ≤ 2 –x < 18 + 7x

b.  0 < 3x - 5 ≤ 16

c.   = 16

d.   + 2 = 17

e.   =0

f.    -1 ≤ 7

g.